1. 背景

对于加性噪声模型，带噪信号可以表⽰为

$x(t) = s(t)+n(t)$

其中$s(t)$表示语音信号，$n(t)$表示噪声信号。用$S(p,k)$,$N(p,k)$和$X(p,k)$分别表示$s(t)$,$n(t)$和$x(t)$的第$p$个短时帧的第$k$个频率分量。

去噪的目的：find an estimator $\hat{S}(p,k)$ which minimizes the expected value of a given distortion measure conditionally to a set of spectral noisy features.
去噪的方法：An estimate of $S(p,k)$ is subsequently obtained by applying a spectral gain $G(p,k)$ to each short-time spectral component $X(p,k)$, The choice of the distortion measure determines the gain behavior, i.e. the trade-off between noise reduction and speech distortion.

对于大部分的语音增强技术都需要估计两个参数：后验SNR(posteriori SNR)和先验SNR(priori SNR)，他们的定义如下：

$\begin{align} SNR_{post}(p,k) = \dfrac{|X(p,k)|^2}{E[|N(p,k)|^2]} \end{align}$ $\begin{align} SNR_{prio}(p,k) = \dfrac{E[|S(p,k)|^2]}{E[|N(p,k)|^2]} \end{align}$

其中，$E[.]$是期望算子。

定义瞬时SNR(instantaneous SNR)(它可以认为是局部先验SNR的直接估计) 如下：

$\begin{align} \begin{split} SNR_{inst}(p,k) &= \dfrac{|X(p,k)|^2-E[|N(p,k)|^2]}{E[|N(p,k)|^2]} \\ &=SNR_{post}(p,k) -1 \end{split} \end{align}$

在实际应用中，语音信号的能量谱密度(power spectrum density, PSD) $E[|S(p,k)|^2]$ 和噪声的能量谱密度$E[|N(p,k)|^2]$都是未知的，只有带噪语音信号$X(p,k)$是已知的，因此，先验SNR和后验SNR都要估计。

对于噪声的能量谱密度(记为：${\hat{\gamma}}_{n}(p,k) $ )，可以在背景噪声的信号段内进行估计(It can be practically estimated during speech pauses using a classic recursive relation or continuously using the Minimum Statistics or the Minima Controlled Recursive Averaging approach to get a more accurate estimate in case of noise level fluctuations)。

频谱增益可由以下函数得到：

$\begin{align} G(p,k)=g(\hat{SNR}_{prio}(p,k), \hat{SNR}_{post}(p,k)) \end{align}$

$g$可以选择不同的函数（e.g. amplitude or power spectral subtraction, Wiener filtering, MMSE STSA, MMSE LSA, OM LSA, etc.）

由此得到语音信号的估计：

$\begin{align} \hat{S}(p,k)=G(p,k)X(p,k) \end{align}$

直观理解，通过 SNR 来计算增益，SNR 越大的地方，增益越大，反之增益越小.

2. Decision-Directed Approach

根据估计的噪声能量谱密度，得到先验 SNR 和后验 SNR如下：

$\begin{align} \hat{SNR}_{post}(p,k) = \dfrac{|X(p,k)|^2}{\hat{\gamma}_n(p,k)} \end{align}$ $\begin{align} \hat{SNR}_{pori}^{DD}(p,k) = \beta\dfrac{|\hat{S}(p-1,k)|^2}{\hat{\gamma}_n(p,k)} + (1-\beta)P[\hat{SNR}_{post}(p,k)-1] \end{align}$

其中，$P[.]$ denotes the half-wave rectification, $\beta$一般取$0.98$.

选择维纳滤波器(参考附录维纳滤波器的传递函数)作为增益函数，那么有

$\begin{align} G_{DD}(p,k) = \dfrac{\hat{SNR}_{prio}^{DD}(p,k)}{1+\hat{SNR}_{prio}^{DD}(p,k)} \end{align}$

分析 DD 算法，有

当瞬时 SNR 远大于0时，$\hat{SNR}_{pori}^{DD}(p,k)$相对于瞬时 SNR 总会有一帧的延迟。(因为$\beta$接近1)
当瞬时 SNR 接近于或小于0时，$\hat{SNR}_{pori}^{DD}(p,k)$是瞬时 SNR 的高度平滑，它的方差要比瞬时 SNR 更小，从而得到较好的降噪效果。
在语音信号刚出现或恰好消失的边缘帧，会出现先验 SNR 过估计和欠估计的情况。

3. Two step noisy reduction(TSNR)

当$\beta$接近于1时，DD 算法引入了一帧的延迟，也就是说，当前帧计算的是上一帧的频谱增益。因此，我们可以用下一帧的频谱增益来估计当前帧的语音信号。因此 TSNR 的算法如下：

使用 DD 算法计算第$p$帧的频谱增益$G_{DD}(p,k)$
使用上一步计算的频谱增益和$p+1$帧来估计当前帧的先验 SNR

$\begin{align} \hat{SNR}_{prio}^{TSNR}(p,k) &= \hat{SNR}_{prio}^{DD}(p+1,k) \\ &= {\beta}^{'} \dfrac{|G_{DD}(p,k)X(p,k)|^2}{\hat{\gamma}_n(p,k)}+(1-{\beta}^{'})P[\hat{SNR}_{post}(p+1,k)-1] \end{align}$

考虑到$\hat{SNR}_{post}(p+1,k)$需要$p+1$帧进行估计，这会引入额外的处理延迟，因此取${\beta}^{‘}=1$，有

$\begin{align} \hat{SNR}_{prio}^{TSNR}(p,k) = {\beta}^{'} \dfrac{|G_{DD}(p,k)X(p,k)|^2}{\hat{\gamma}_n(p,k)} \end{align}$

The choice of ${\beta}^{‘}=1$ is valid only for the second step in order to refine the first step estimation: actually ${\beta}$ is set to a typical value of $0.98$ for the first step.

依然采用维纳滤波器，那么频谱增益为

$\begin{align} G_{TSNR}(p,k) = \dfrac{\hat{SNR}_{prio}^{TSNR}(p,k)}{1+\hat{SNR}_{prio}^{TSNR}(p,k)} \end{align}$

因此，最终的语音信号估计为

$\begin{align} \hat{S}(p,k)=G_{TSNR}(p,k)X(p,k) \end{align}$

Appendix

1. Wiener Filter(Copy from ref[2])

已知一个含噪信号

$x = s + v$

设计一个滤波器$h$,

使得输出$y=\hat{s}$尽可能的接近原始信号$s$，用均方误差分析的话，希望其数学期望最小

$E\{e^2\}=E\{(s-x*h)^2\}$

在离散域内对上式的$h$求导

$\begin{align*} \frac{\partial{E\{e^2\}}}{\partial{h}} &= 2E\{[\sum_m h(m)x(n-m) - s(n)]\sum_j x(n-j)\} \\ &=2E\{\sum_m h(m) \sum_j x(n-j)x(n-m) - \sum_j s(n)x(n-j)\} \\ &=2\sum_m h(m) E\{\sum_j x(n-j)x(n-m)\} - 2E\{\sum_j s(n)x(n-j)\} \\ &=2\sum_m h(m)R_{xx}(j-m) - 2R_{xs}(j) \end{align*}$

令导数为0，得到

$R_{xs}(j)=\sum_m h(m)R_{xx}(j-m) \qquad j \geq 0$

这就是维纳霍夫方程。另外由数理统计知识可求得

$\begin{align*} R_{xs}(m) &= R_{ss}(m) + R_{vs}(m) \\ R_{xx}(m) &= R_{ss}(m) + R_{sv}(m) + R_{vs}(m) + R_{vv}(m) \end{align*}$

其中$R$为自相关函数。如果$s$与$v$互相独立，那么

$\begin{align*} R_{xs}(m) &= R_{ss}(m) \\ R_{xx}(m) &= R_{ss}(m) + R_{vv}(m) \end{align*}$

如果将维纳霍夫方程进行$z$变换的话，有

$H(z) = \frac{P_{xs}(z)}{P_{xx}(z)}=\frac{P_{ss}(z)}{P_{ss}(z)+P_{vv}(z)}$

由此可知，但噪声为0时，$H(z)=1$，当信号为0时，$H(z)=0$，因此它优于一般的线性滤波器。

Reference

[1] Improved Signal-to-Noise Ratio Estimation for Speech Enhancement
[2] 维纳滤波原理（Wiener Filter）